圆上动点问题

圆上动点问题主要分为以下个步骤：

  1. 找隐圆（即轨迹）
  2. 连圆心，求到圆心的距离 $d$，与半径 $r$
  3. 求 $d\pm r$ （最大值就加，最小值就减）

找隐圆

引理

相信你已经学过以下定理：

同弧或等弧所对的圆周角相等。

当然，都叫隐圆了，当然不可能直接给你弧，那么转换一下，是不是相当于：

在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的劣弧（优弧）所对的圆周角相等。

很显然，这句话是定理，那么这里是“二推一”（①在同圆或等圆中②同弦或等弦所对的劣弧（优弧） 推 ③所对的圆周角相等）。

那是不是可以从②③推①（即 等角共圆定理）？

证明

*为选学内容

（反证法）

由不在同一直线的三点能确定一个圆，可以以点 A、B、C 确定一个圆（即为⊙O），接下来只要证明点 D 也在⊙O 上即可。

先证引理若点 D 不在⊙O 上，∠D≠∠C：

以 A 为端点引出一条射线交⊙O 于点 E，在射线 AE 上任取两点 D'和 D''，使 D'在圆外，D''在圆内，连结 BE。

由 三角形外角定理，得：

∠AD'B=∠AEB-∠D'BE＜∠AEB=∠D；

∠AD''B=∠AEB+∠D''BE＞∠AEB=∠D，

即∠AD'B<∠D,∠AD''B>∠D，

亦即若点 D 不在⊙O 上，∠D≠∠C，引理得证。

再证原命题：假设点 D 不在⊙O 上，则∠D≠∠C，与条件∠D=∠C 不符，

故假设不成立，则 A、B、C、D 四点共圆，原命题得证。

总结

也就是说，看到一个定角（角的度数是一定的）所对的线段也是一定的，那么这个角就是在圆上动。

恭喜你，发现了找隐圆的基础理论。

连圆心，求最值

找到了隐圆，那么有什么作用呢？

这个时候就方便处理最值了。

如图，由三角形三边关系分析得得： $AO-PO<BP<AO+PO$

当然，没说三角形一定要形成，也就是说，这个式子是可以取等号的 $AO-PO\le BP\le AO+PO$

取了等号，那么最大值就是 $AO+PO$，最小值就是 $AO-PO$。

至于求半径、圆心到点的距离，现阶段绝大部分还是通过勾股定理处理。

进阶：瓜豆原理

以上我们讨论的都是主动点的最值，思路是找到轨迹，转为模型处理。

那么对于一个从动点，是否可以找到它的轨迹，从而转为模型处理？

答案是可以的，接下来将会用一道例题介绍。

如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点．当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？

观察动图：

点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？

考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，QM 都为 PQ 的中位线，故 $QM=\frac{1}{2}PO$。

接下来，再问 AP 的最值，就很好处理了。